猴子也能听懂的三重积分换序问题

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二重积分怎么换序?三重积分怎么换序?这篇文章让你一分钟搞懂。

从二重积分说起

【例子】改变积分次序:

$$ \int_0^2\mathrm{d}x\int_x^{2x}f(x,y)\mathrm{d}y $$

首先我们要知道积分区域是怎样的。

如何画出二重积分的积分区域

我们只需要关注各个变量的临界情况。比如$\int_0^2 \mathrm{d}x$ 说明$x$ 的临界是 $x=0,x=2$;$\int_x^{2x}f(x,y)\mathrm{d}y$ 说明 $y$ 的临界是 $y=2x, y=x$,把图画下来是这样的:

image-20200511211127594

我们现在交换积分次序,可以发现积分区域是两个部分,一个部分是 $y=2$ 之下的部分,另一个部分是 $y=2$ 之上的部分。表示出来就是:

$$ D_1:0<y<2\ \and \ \frac y2 <x<y $$

$$ D_2:2<y<4\ \and \ \frac y2 <x<2 $$

所以结果就是:

$$ I_{D_1}+I_{D_2} = \int_{0}^{2} \mathrm{d} y \int_{\frac{1}{2} y}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{2}^{4} \mathrm{d} y \int_{\frac{1}{2} y}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x $$

二重积分换序,其实就是对待积分区域的方向的改变,一种是上下看,一种是左右看。

三重积分

【例子】(从里到外)将 $z,y,x$ 顺序换为 $y,x,z$ 顺序:

$$ \int_{0}^{1} \mathrm{d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{d} y \int_{0}^{x+y} f(x, y, z) \mathrm{d} z $$

对于三重积分换序,比如 $z,y,x$ 换 $y,x,z$ 可以看成两步:1. $y,z,x$ 2.$y,x,z$:

首先,把 $x$ 看做常量,交换 $y,z$。临界区域:

$$ y=0\to y=1-x\\z=0\to z=x+y $$

image-20200511214037349

交换 $y,z$ 后,和二重积分一样,积分区域(上面的梯形)分成了两个,一个是上面的三角区,一个是下面的矩形区:

$$ D_1:\left\{{\begin{aligned} 0 \leq y \leq 1-x\\ 0 \leq z \leq x \end{aligned}}\right.\ D_2:\left\{\begin{array}{l} z-x \leq y \leq 1-x \\ x \leq z \leq 1 \end{array}\right. $$

得到一个中间结果:

$$ \int_{0}^{1} \mathrm{d} x\left(\int_{0}^{x} \mathrm{d} z \int_{0}^{1-x} f(x, y, z) \mathrm{d} y+\int_{x}^{1} \mathrm{d} z \int_{x-x}^{1-x} f(x, y, z) \mathrm{d} y\right) $$

之后再交换 $x,z$ 方法是一模一样的,就不浪费口舌了。最终结果是:

$$ \int_{0}^{1} \mathrm{d} z \int_{z}^{1} \mathrm{d} x \int_{0}^{1-x} f(x, y, z) \mathrm{d} y+\int_{0}^{1} \mathrm{d} z \int_{0}^{x} \mathrm{d} x \int_{z-x}^{1-x} f(x, y, z) \mathrm{d} y $$

Tags
数学

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